PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
Để cm một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n N ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên được vì tập hợp số tự nhiên là vô hạn. Song ta có thể tiến hành các bước kiểm tra như sau
Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0
Bước 2 : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k 0 bất kì suy ra nó đúng với n=k+1 .
Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có đẳng thức :
an-bn =(a-b)(an-1 +an-2b +…..+ bn-1)
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp .
* Khi n=2 ta có a2 -b2=(a-b)(a+b) là đúng
* Giả sử đẳng thức đúng khi n=k . Tức là ta có : ak-bk =(a-b)(ak-1 +ak-2b +…..+ bk-1)
Ta cần chứng minh đúng với n=k+1 . Tức là C/m ak+1-bk+1 =(a-b)(ak +ak-1b +…..+ bk) .
Thật vậy ta có :
VT = ak+1 - bk+1 = ak+1 -akb + akb -bk+1 = ak(a-b)+ b(ak -bk) = ak(a-b) + b(a-b)(ak-1 +ak-2b +…..+ bk-1)
= (a-b)[ ak + b(ak-1 +ak-2b +…..+ bk-1)] = (a-b)(ak +ak-1b +…..+ bk) = VP
Vậy theo giả thiết quy nạp đẳng thức đúng với mọi n  2

Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n  1 ta có đẳng thức : 1+2+3+4…………+ n
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n  N* ta có : 12 +22 +32 + 42 +52 +……+n2
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n  N biểu thức Un=13n -1 chia hết 6.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  3 ta có 2n > 2n+1
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:

Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 ta luôn có: (n+1)(n+2)…(2n)
1.3.5…(2n-1)
Bài 7 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: n3+2n
3
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có:


TÍNH CHIA HẾT

A. CHIA HẾT SỐ NGUYÊN
Định nghĩa: Cho hai số nguyên bất kì a và b (b
0). Tồn tại một và chỉ một cặp số nguyên (q, r) sao cho a = bq + r với
* Nếu r = 0 thì a chia hết cho b: a
b
a = kb a, b, k

* Nếu r
0 phép chia a cho b là có dư
Tính chất của qua hệ chia hết:
a
a
a
b và b
a thì a = b
a
b và b
c thì a
c
a
m thì ka
m và ak
m
a
m, b
m thì a
b
m
a
b
m mà a
m thì b
m
a
m, b
n thì ab
nm
a
m thì an
mn
an
m, m nguyên tố thì a
m
a
m, a
n mà (n, m) = 1 thì a
mn
a
m, a
n, a
k; n, m, k nguyên tố sánh đôi thì a
mnk
a
m, b
m thì a
b
m
* Trong n số nguyên liên tiếp (nN*) có một và chỉ một số chia hết cho n.
* Trong n+1 số nguyên bất kì (nN*) chia cho n thì có hai số chia cho n có cùng số dư.
* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho một số nguyên tố p ta có thể xét mọi trường hợp về số dư của n chia cho p.
* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân tích m thành tíchcác thưac số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi lần lượt chứng tỏ A(n) chia hết cho từng thừa